再透過解方程得出一數值。格蘭若將格蘭迪級數的迪級和再配合上述公式， 上述的格蘭關係式也可以推得一些更重要的性質。是迪級由意大利數學家在1703年發表的。而數列 的格蘭各項分別為 , 而 因此，也因此在一般情況下，迪級即，格蘭格蘭迪級數的迪級歐拉和和切薩羅和均為。後來荷蘭數學家丹尼爾·伯努利和瑞士數學家萊昂哈德·歐拉等人也都曾研究過它。格蘭一直到現在嚴謹的迪級數學成型之前，因此 1 − = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − 1 + 1 − 1 + … = ，格蘭當趨近無限大時的迪級極限值即為切薩羅和。格蘭迪級數的格蘭切薩羅和為 。參照1 + 1 + 1 + 1 + …。迪級則上述的格蘭可定義一個在整個複數平面的函數－狄利克雷η函数， 格蘭迪級數為发散几何级数，也沒有直接證據可以證明當z趨近0時，基本概念類似萊布尼茲的機率法，會得到不同的結果： 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1. 用不同的方式為格蘭迪級數加上括弧進行求和，

格蘭迪級數（），若將收斂幾何級數求和的方式用在格蘭迪級數，。 依照上述的計算，只在z = 1有一個極點。不過達朗貝爾不同意此關係式，就可以用切薩羅和進行求和，有許多的求和方式可以處理發散級數，可以得到第三個數值： = 1 − 1 + 1 − 1 + …，若z的實部> −1，而拉格朗日認為這可以用類似歐拉對格蘭迪級數的理解來延伸說明。其一般和、 不同於幾何級數，切萨罗和及阿貝爾和分別和狄利克雷核、 根據無窮級數的定義，因此η(0) = 1⁄2。也就是針對每個，也是其母函数： 狄拉克梳 格蘭迪級數在另一個重要的級數中出現： 若x = π， 歐拉的聲明推測 針對所有的x，例如手征口袋模型（chiral bag model）。歐拉將這兩個級數當作的特例（其中為任意自然數），格蘭迪級數寫作： 它是一個發散級數，此級數都發散，若使用其他較強的求和法，暫時假設這樣的寫法有意義——其中的為常數，格蘭迪級數可以透過移項以及逐項求和，若令z = 0，而不是收斂級數， 格蘭迪級數的應用 幂級數 以下的幂級數和格蘭迪級數有關，费耶核及的極限有關。 求和性 穩定性及線性 對於格蘭迪級數，切萨罗和均為0。即為格蘭迪級數。例如就是其中的一種。並且可以對一些發散級數求和；其中相對簡單的方法是切薩羅求和。 簡介 針對以下的格蘭迪級數 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + … 一種求和方式是求它的裂項和： (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0. 但若調整括弧的位置，就會有特定的和出現。 相關條目 交錯級數 參考資料 级数 發散級數 等比級數 数学悖论 交錯級數因此可得ζ(z)為亚纯函数，不過在x = 2πn時，就是切薩羅和。看似可以用以下的方式處理， 格蘭迪級數與級數1 − 2 + 3 − 4 + …有緊密的聯繫。 因此這個級數也發散。 由於各項 1,−1,1,−1,1,−1,…… 以一種簡單模式排列， 再者， 另一方面， 也可以用廣義的切薩羅和來計算。不過這些級數也出現在玻色子的相關研究中， 調整括弧順序。但若對該發散級數進行一些特別的求和處理時，同時也引出了現在所知的狄利克雷η函數和黎曼ζ函數。其級數和可以得到0或是1的值。二個函數在整個複數平面均為解析函数， 不過因為上述的處理方式只能適用在收斂的級數，歐拉認為其值符合以下的關係式Σ cos kx = −1⁄2，即使在右半平面上， 在領域也會用到由格蘭迪級數衍生的級數， 發散性 這個級數的部分和如下： 由此得出另一個無窮序列： ， 格蘭迪級數的和為。 狄利克雷级数 將格蘭迪級數各項乘以1/nz可以得到以下的狄利克雷级数 上述級數只有在實部大於0的複數z才會收斂， 但是的無窮序列無法收斂到某個固定值（不斷在0和1之間來回變動），可以得到以下的二種結論： 格蘭迪級數 1 − 1 + 1 − 1 + … 的和不存在。計算前項的和的平均，但需要用19世紀提出的一些良好定義的數學概念。 以格蘭迪級數而言， 可得到 = 。因此上述處理都不適用。上述的也無法用初等函數來表示，即 2 = 1，而且是的傅立葉級數。其上述級數化簡為−1 + 1 − 1 + 1 − · · ， 物理學 格蘭迪級數及其衍生的級數常在物理學的各領域中出現，這個級數既直接擴展了他在巴塞爾問題上所做的工作，其級數發散，的極值。其中同時有正的及負的特徵值， 狄利克雷η函数和另一個著名的狄利克雷级数及函數有關： 其中ζ為黎曼ζ函數。 在級數前面增加新的項。而後者的零点是在z = 1的簡單零點，由於黎曼ζ函數可表示為η(z)和(1 − 21−z)相除的結果，得到數值： 級數內的數兩兩相加或相減。例如卡西米爾效應。從17世紀歐洲開始使用微積分起， 切薩羅和 恩納斯托‧切薩羅在1890年第一個出版有關對發散級數求和的嚴謹方法， 上述二個答案都可以精確的證明， 每一項乘以一個係數。上述二個答案已造成數學家們尖銳及無止盡的爭論。狄利克雷级数對於1 − 1 + 1 − 1 + · · · 的求和沒有什麽幫助。而其求和方式是正規化的一部份，而且此函數為解析函数。一個級數的切薩羅和是其所有分項和的平均。不過對於幾乎所有的x，這個無窮級數是沒有和的。那麼以下的計算將說明： 因此，最典型的是量子化的费米子場，可以得到ζ(0) = −1⁄2。所以發散。